[NOIP2014 提高组] 飞扬的小鸟

题目描述

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。

为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编:

游戏界面是一个长为 $n$，高为 $m$ 的二维平面，其中有 $k$ 个管道（忽略管道的宽度）。

小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。

小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 $1$，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 $x$，每个单位时间可以点击多次，效果叠加；如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 $y$。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上升的高度 $x$ 和下降的高度 $y$ 可能互不相同。

小鸟高度等于 $0$ 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 $m$ 时，无法再上升。

现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

输入格式

第 $1$ 行有 $3$ 个整数 $n, m, k$，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个整数之间用一个空格隔开；

接下来的 $n$ 行，每行 $2$ 个用一个空格隔开的整数 $x$ 和 $y$，依次表示在横坐标位置 $0 \sim n-1$ 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 $x$，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时，小鸟在下一位置下降的高度 $y$。

接下来 $k$ 行，每行 $3$ 个整数 $p,l,h$，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 $p$ 表示管道的横坐标，$l$ 表示此管道缝隙的下边沿高度，$h$ 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 $p$ 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

输出格式

共两行。

第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 $1$，否则输出 $0$。

第二行，包含一个整数，如果第一行为 $1$，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

样例 #1

样例输入 #1

10 10 6 
3 9  
9 9  
1 2  
1 3  
1 2  
1 1  
2 1  
2 1  
1 6  
2 2  
1 2 7 
5 1 5 
6 3 5 
7 5 8 
8 7 9 
9 1 3

样例输出 #1

1
6

样例 #2

样例输入 #2

10 10 4 
1 2  
3 1  
2 2  
1 8  
1 8  
3 2  
2 1  
2 1  
2 2  
1 2  
1 0 2 
6 7 9 
9 1 4 
3 8 10

样例输出 #2

0
3

提示

【输入输出样例说明】

如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 10, 5 \leq m \leq 10, k=0$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 $3$ 次；

对于 $50\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 20, 5 \leq m \leq 10$，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 $3$ 次；

对于 $70\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 1000, 5 \leq m \leq 100$；

对于 $100\%$ 的数据：$5 \leq n \leq 10000$，$5 \leq m \leq 1000$，$0 \leq k < n$，$0 < x,y < m$，$0 < p < n$，$0 \leq l < h \leq m$， $l + 1 < h$。

题解

一道细节比较多的DP题，首先对于小鸟的每一个位置，都可能是从上一个位置降落或者上升得到的，下降只可能下降一次，而上升可以上升多次。

朴素的做法 80pts

我们可以设 $f[i][j]$ 表示横坐标为$i$，纵坐标为$j$时小鸟最少的点击次数，$up[i]$为$i$位置点击一次上升的高度，$down[i]$表示$i$位置不点击下降的高度，$f[i][j]$一定是之前上升或者下降的来的，而上升可以上升多次，对于上升，我们设它点了$k$次，枚举$k$。

$$f[i][j] = \min(f[i-1][j+down[i-1]], f[i - 1][j - up[i - 1] \times k] + k)$$

因为小鸟到了天花板就不在上升了，我们对天花板高度特殊处理一下就行了

#include <iostream>
#define inf 1147483640
#define UP j - up[i - 1]
#define DOWN j + down[i - 1]
using namespace std;

const int maxn = 10005;
int n, m, K, f[maxn][1005] = {}, up[maxn] = {}, down[maxn] = {};
int ans = 0;
bool wall[maxn][1005] = {};
int p[maxn], l[maxn], h[maxn];

inline void dp()
{
    for (register int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (register int j = 1; j <= m - 1; j++)
        {
            if (!wall[i][j])
            {
                if (DOWN <= m) // 接近下边界
                {
                    f[i][j] = f[i - 1][DOWN];
                    // cout << "qwq" << f[i - 1][DOWN];
                }
                else
                    f[i][j] = inf;
                for (int k = 1; j - up[i - 1] * k > 0; k++)
                {
                    // cout << k << "| ";
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - up[i - 1] * k] + k);
                }
            }
        }
        if (!wall[i][m])
            for (register int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (!wall[i - 1][j])
                {
                    int k = 1;
                    while (j + up[i - 1] * k < m)
                        k++;
                    f[i][m] = min(f[i][m], f[i - 1][j] + k);
                }
            }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> K;

    for (register int i = 0; i <= n - 1; i++)
        cin >> up[i] >> down[i];

    for (register int i = 1; i <= n; i++)
        for (register int j = 0; j <= m; j++)
            f[i][j] = inf;

    for (register int i = 1; i <= K; i++)
    {
        cin >> p[i] >> l[i] >> h[i];
        for (register int j = 0; j <= l[i]; j++)
            wall[p[i]][j] = 1;
        for (register int j = h[i]; j <= m; j++)
            wall[p[i]][j] = 1;
    }
    dp();
    int min_ans = inf;
    for (register int i = 1; i <= m; i++)
    {
        min_ans = min_ans > f[n][i] ? f[n][i] : min_ans;
    }
    if (min_ans >= inf)
    {
        cout << "0\n";
        int max_ans = 0, done;
        for (register int i = 1; i <= K; i++)
        {
            done = 0;
            for (register int j = l[i] + 1; j < h[i]; j++)
                if (f[p[i]][j] < inf)
                    done = 1;
            if (done)
                max_ans++;
        }
        cout << max_ans;
    }
    else
    {
        cout << "1\n"
             << min_ans;
    }
    return 0;
}

100pts做法

刚才的DP太慢了，刚才对于上升，我们枚举了一个$k$来确定它转移了多少次，其实我们不用去枚举，$f[i][j-up[i-1]]$已经记录了跳了$k-1$的情况，所以方程也变简单了许多。

$$f[i][j] = \min(f[i][j-up[i-1]], f[i-1][j-up[i-1]], f[i-1][j+down[i-1]])$$

当高度为$m$时，也就是天花板，我们纵坐标可以一直处理到$m+up[i-1]$，然后让$f[i][m]$取m到m+up[i-1]之间的最小值就行，这比刚才的更快一点，同时数组也要开大一倍。

注意，这样做的话，下降和上升不要写在同一个循环里处理，不然无法确定到底是从哪里转移过来的。要写两个循环分开去计算。

这里还有一个坑点，就是这个做法会用到$f[i-1][j-up[i-1]]$，无论这个点是不是水管，因此对于下半部分的管道，我们也要处理。

#include <iostream>
#define inf 1147483640
using namespace std;

const int maxn = 10005;
int n, m, K, f[maxn][2005] = {}, up[maxn] = {}, down[maxn] = {};
int ans = 0, wall[maxn][1005] = {};
int p[maxn], l[maxn], h[maxn];

inline void dp()
{
    for (register int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (register int j = up[i - 1] + 1; j <= m + up[i - 1]; j++)
            if (wall[i][j] != 2) //如果不是水管上半部分
                f[i][j] = min(f[i][j - up[i - 1]] + 1, f[i - 1][j - up[i - 1]] + 1);
            else
                break;
        for (register int j = 0; j <= m; j++) //把下部分管道的值删掉
            if (wall[i][j])
                f[i][j] = inf;
        for (register int j = 1; j < m; j++)
            if (!wall[i][j])
                if (j + down[i - 1] <= m) // 上一个状态是没单击
                    f[i][j] = min(f[i - 1][j + down[i - 1]], f[i][j]);
        if (!wall[i][m]) //处理天花板
            for (register int j = 1; j <= up[i - 1]; j++)
                f[i][m] = min(f[i][m], f[i][m + j]);
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m >> K;

    for (register int i = 0; i < n; i++)
        cin >> up[i] >> down[i];

    for (register int i = 1; i <= n; i++)
        for (register int j = 0; j <= m * 2; j++)
            f[i][j] = inf;

    for (register int i = 1; i <= K; i++)
    {
        cin >> p[i] >> l[i] >> h[i];
        for (register int j = 0; j <= l[i]; j++)
            wall[p[i]][j] = 1;
        for (register int j = h[i]; j <= m; j++)
            wall[p[i]][j] = 2;
    }
    dp();
    int min_ans = inf;
    for (register int i = 1; i <= m; i++)
        min_ans = min(min_ans, f[n][i]);
    if (min_ans >= inf)
    {
        cout << "0\n";
        int max_ans = 0, done;
        for (register int i = 1; i <= K; i++)
        {
            done = 0;
            for (register int j = l[i] + 1; j < h[i]; j++)
                if (f[p[i]][j] < inf)
                    done = 1;
            if (done)
                max_ans++;
        }
        cout << max_ans;
    }
    else
        cout << "1\n"
             << min_ans;
    return 0;
}

这题坑太多了，100pts做法我调了一个晚自习和一个早自习，一开始还以为式子推错了，后来绷不住了去康了一眼题解，才知道水管也要处理

代码写完之后，意识到这个好像就是一个01背包+完全背包。

$END$