钱币找零问题

1. 题目描述

给定不同面值的纸币数量（1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元）分别为c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6张，以及一个目标支付金额K元。需要计算并输出为了支付K元至少需要使用多少张纸币。

输入：

一个整数K，表示需要支付的总金额（单位：元）。 七个整数c0, c1, c2, c3, c4, c5, c6，分别代表1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元纸币的数量。

输出：

一个整数，表示支付K元所需的最少纸币数量。如果无法恰好支付K元，则输出-1。

样例输入： K = 97 c0 = 1, c1 = 2, c2 = 1, c3 = 0, c4 = 3, c5 = 0, c6 = 1 样例输出：

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2. 分析

此问题可以通过动态规划或回溯法解决。由于每种面值的纸币数量有限，直接应用贪心算法可能得不到最优解。因此，我们选择动态规划方法，该方法能确保找到全局最优解，并且在实现上较为直观。

动态规划：我们需要构建一个数组dp，其中dp[i]表示支付i元所需的最少纸币数量。初始化时，dp[0] = 0，因为支付0元不需要任何纸币。对于每个i从1到K，我们会遍历所有可用的纸币面值，尝试更新dp[i]为min(dp[i], dp[i - coin_value] + 1)，前提是coin_value不超过i且还有剩余的该面值纸币。为了考虑到每种面值纸币的数量限制，我们在更新dp[i]时还需要检查是否超过了该面值纸币的最大可用数量。

3. 代码

def min_coins_to_pay(K, coins):
    # Initialize the dp array with infinity, except dp[0] = 0
    dp = [float('inf')] * (K + 1)
    dp[0] = 0
    
    # coins is a list of tuples (value, count) for each coin type
    # Iterate over each amount from 1 to K
    for i in range(1, K + 1):
        for value, count in coins:
            for j in range(1, min(count + 1, i // value + 1)):
                if value * j <= i and dp[i - value * j] != float('inf'):
                    dp[i] = min(dp[i], dp[i - value * j] + j)
    
    return dp[K] if dp[K] != float('inf') else -1

# Example usage:
# Suppose we have the following coins: 1x1, 2x2, 5x1, 10x0, 20x3, 50x0, 100x1
# And we want to pay 97 yuan.
coins = [(1, 1), (2, 2), (5, 1), (10, 0), (20, 3), (50, 0), (100, 1)]
K = 97
print("Minimum number of coins needed:", min_coins_to_pay(K, coins))